Nunca jamás dudes entre existían y el término exixtían cuando debas escribir, puesto que únicamente nos encontramos con una manera posible para escribir este término adecuadamente, y es: existían. La palabra exixtían simplemente no corresponde a ninguna palabra que se encuentre en el diccionario de la RAE.
Con el fin de que te sea más fácil recordar el modo en que es preciso escribir existían, su definición del diccionario:
La inseguridad a la hora de escribir vocablos que incluyen las letras ‘s’ y ‘c’ ocurre con más asiduidad en aquellas áreas en que las dos se pronuncian igual. Esto es sobre todo en los países de Latinoamérica en los que se habla castellano, pero también en algunas áreas del sur de la Península Ibérica y las Islas Canarias. No deseamos mostrar teorías con relación al porqué de este modo de pronunciar, ya que no se trata del objetivo de este sitio web, solamente deseamos indicar que sea como fuere, esta manera de pronunciar está aceptada. De igual modo {hay que precisar|es preciso decir que la confusión entre ‘s’ y ‘c’ solamente puede darse en ciertas circunstancias, ya que la ‘c’ cuando va delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ en ninguna ocasión tiene su pronunciación de forma similar a /s/, sino que se pronuncia como /k/, por lo que no tendría que existir ninguna confusión en estas circunstancias. Por lo demás, quisiéramos recomendarte escuchar cómo se pronuncian las palabras en español de la Península Ibérica estándar, para así aprender a diferenciar cuándo es preciso escribir la letra ‘s’ y cuándo ‘c’. Y desde luego, seguir este sitio web y estudiar las normas de ortografía que hemos recopilado para ti en el inicio de este sitio web. De esta manera nunca experimentarás dudas sobre si el término que tratas de escribir se escribe existían o se trata de la palabra exixtían.