No debes dudar entre el término exhaustivo y la palabra exhauxtivo cuando debas escribir, puesto que solo existe una manera viable de escribir esta palabra correctamente, y es: exhaustivo. El término exhauxtivo simplemente no aparece en el diccionario de la RAE.
Con el objetivo de que te sea más fácil recordar la forma en que es preciso escribir exhaustivo, su definición del diccionario:
Las dudas cuando debemos escribir vocablos que contienen las letras ‘s’ y ‘c’ se da con más frecuencia en aquellos territorios en donde ambas dos se pronuncian de forma idéntica. Esto es primordialmente en los países de Latinoamérica en los que se habla español, aunque también además en algunas zonas del sur de la Península Ibérica y las Islas Canarias. No trataremos de trazar teorías sobre el porqué de esta manera de pronunciar, ya que no es el propósito de esta web, tan solo deseamos mencionar que sea como sea, esta pronunciación está aceptada. Igualmente {cabe apuntar|es preciso dejar constancia de que la confusión entre las letras ‘s’ y ‘c’ solamente puede existir en determinadas circunstancias, ya que la ‘c’ cuando va delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ en ningún caso tiene su pronunciación de modo similar a /s/, sino como /k/, por lo que no tendría que existir ningún tipo de confusión en estos casos. Con relación a lo demás, quisiéramos recomendarte escuchar la pronunciación las palabras en castellano de España estándar, como forma de aprender a diferenciar cuándo hay que escribir ‘s’ y cuándo la letra ‘c’. Y evidentemente, seguir esta web y asimilar las normas de ortografía que hemos recopilado para ti en la portada de esta web. Así nunca más tendrás dudas sobre si la palabra que tratas de escribir se escribe exhaustivo o es la palabra exhauxtivo.