Jamás deberías dudar entre la palabra persistieron y el término perziztieron cuando debas escribir, debido a que solo nos encontramos con una manera posible de escribir esta palabra con corrección, y es: persistieron. El término perziztieron simplemente no aparece en el diccionario de la RAE.
Con el propósito de que recuerdes mejor el modo en que es preciso escribir persistieron, la definición del diccionario:
Las dudas cuando hay que escribir vocablos que comprenden las letras ‘s’ y ‘c’ pasa más regularmente en aquellas áreas en que las dos se pronuncian de igual manera. Esto sucede fundamentalmente en los países latinoamericanos en los cuales hablan en español, aunque también además en algunas partes del sur de España y las Islas Canarias. No es nuestra intención trazar teorías acerca del porqué de esta forma de pronunciar, puesto que no se corresponde con el propósito de esta página, tan solo deseamos indicar que en cualquier caso, esta pronunciación está aprobada. Al mismo tiempo {cabe apuntar|es preciso decir que la confusión entre las letras ‘s’ y ‘c’ tan solo puede tener lugar en ciertas circunstancias, puesto que la ‘c’ cuando antecede a las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ en ningún caso tiene su pronunciación de modo similar a /s/, sino que debe pronunciarse como /k/, por lo que no tendría que existir ningún tipo de confusión en este punto. Por lo demás, nos gustaría aconsejarte escuchar cómo se pronuncian las palabras en castellano peninsular estándar, para así aprender a encontrar las diferencias sobre en qué momento se debe escribir ‘s’ y cuándo ‘c’. Y ciertamente, ser seguidor de este sitio web y asimilar las normas de ortografía que hemos reunido para ti en la portada de este sitio. Así nunca experimentarás dudas sobre si el término que deseas escribir se escribe persistieron o se trata de la palabra perziztieron.