Nunca jamás debes dudar entre permanecieron y el término permanesieron a la hora de escribir, debido a que solo hay una forma viable de escribir esta palabra de forma correcta, y es: permanecieron. El término permanesieron sencillamente no se encuentra en el diccionario de la RAE.
Para que recuerdes mejor el modo en que se debe escribir permanecieron, creemos que te servirá de gran ayuda que tengas en cuenta la definición del diccionario:
Las dudas que surgen cuando debemos escribir vocablos que incluyen las letras ‘s’ y ‘c’ se da con más asiduidad en aquellas zonas en que las dos se pronuncian igual. Esto se da primordialmente en los países de América Latina en los que se habla lengua española, mas también de igual modo en algunas áreas del sur de la Península Ibérica y las Islas Canarias. No deseamos mostrar teorías acerca del porqué de este modo de pronunciar, ya que no es el propósito de este sitio web, tan solo queremos mencionar que en cualquier caso, esta manera de pronunciar está reconocida. De igual modo {cabe precisar|es preciso decir que la confusión entre las letras ‘s’ y ‘c’ solamente puede aparecer en determinados casos, debido a que la ‘c’ cuando antecede a las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ nunca jamás se pronuncia de forma similar a /s/, sino que suena como /k/, por lo que no tendría que haber ninguna confusión por este motivo. En referencia al resto, quisiéramos recomendarte escuchar la pronunciación las palabras en español de España estándar, para así aprender a diferenciar cuándo es necesario escribir ‘s’ y cuándo ‘c’. Y ciertamente, ser seguidor de nuestra página web y estudiar las reglas ortográficas que hemos juntado para ti en la portada de este sitio web. De esta manera nunca experimentarás dudas sobre si la palabra que tratas de escribir se escribe permanecieron o es la palabra permanesieron.