Jamás deberías dudar entre la palabra lucen y el término luzen cuando te veas en la necesidad de escribir, debido a que únicamente nos encontramos con una manera viable de escribir este término con corrección, y es: lucen. La palabra luzen simplemente no arroja ningún resultado cuando lo buscamos en el diccionario de la RAE.
Con la finalidad de que no vuelvas a tener dudas y recuerdes la manera en que deberías escribir lucen, la definición del diccionario:
La vacilación cuando hay que escribir palabras que incluyen las letras ‘s’ y ‘c’ se produce con más regularidad en aquellas zonas en que ambas se pronuncian de manera idéntica. Esto se da sobre todo en los países latinoamericanos en los cuales hablan en español, aunque también en algunas partes del sur de España y las Islas Canarias. No es nuestra intención exponer teorías respecto al porqué de esta manera de pronunciar, porque no se corresponde con el objetivo de esta página web, únicamente queremos señalar que en cualquier caso, esta manera de pronunciar está aprobada. Asimismo {cabe precisar|es preciso dejar constancia de que la confusión entre ‘s’ y ‘c’ tan solo puede existir en algunos casos, puesto que la letra ‘c’ cuando antecede a las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ jamás se pronuncia de manera semejante a /s/, sino que debe pronunciarse como /k/, por lo cual no debería de existir ninguna confusión en estas circunstancias. En referencia al resto, recomendamos escuchar la manera de pronunciar las palabras en castellano de la Península Ibérica estándar, como forma de aprender a encontrar las diferencias sobre en qué momento se debe escribir la letra ‘s’ y cuándo ‘c’. Y desde luego, seguir nuestro sitio web y asimilar las normas ortográficas que hemos juntado para ti en el inicio de esta página web. Así ya nunca más tendrás dudas sobre si el vocablo que quieres escribir se escribe lucen o se trata de la palabra luzen.