Nunca dudes entre el término persistente y el término perxixtente cuando debas escribir, ya que tan solo hay una manera posible para escribir este término de forma correcta, y es: persistente. El término perxixtente simplemente no se encuentra en el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.
Con el propósito de que no se te olvide fácilmente la manera en que se debe escribir persistente, la definición del diccionario:
La confusión a la hora de escribir vocablos que incluyen las letras ‘s’ y ‘c’ ocurre más regularmente en aquellos sitios en que las dos se pronuncian igual. Esto se produce principalmente en los países latinoamericanos en los que se habla español, aunque también además en algunas partes del sur de España y las Islas Canarias. No es nuestro deseo teorizar respecto al porqué de esta forma de pronunciar, ya que no es el objetivo de esta web, tan solo queremos establecer que sea como sea, esta manera de pronunciar está aceptada. Igualmente {hay que decir|es preciso apuntar que la confusión entre las letras ‘s’ y ‘c’ solamente puede aparecer en determinados casos, porque la ‘c’ cuando va delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ jamás tiene su pronunciación de modo similar a /s/, sino que debe pronunciarse como /k/, por lo que no tendría que haber ningún tipo de confusión en estas circunstancias. Respecto al resto, nuestra recomendación es escuchar la pronunciación las palabras en español peninsular estándar, como forma de aprender a encontrar las diferencias sobre cuándo se tiene que escribir ‘s’ y cuándo ‘c’. Y desde luego, seguir esta página web y memorizar las normas de ortografía que hemos juntado para ti en el inicio de este sitio. De esta forma ya nunca más experimentarás dudas sobre si el término que deseas escribir se escribe persistente o se trata de la palabra perxixtente.