Nunca deberías dudar entre extinguiéndose y el término extinguiéndoce cuando debas escribir, debido a que solo existe una manera posible de escribir este término como es debido, y es: extinguiéndose. El término extinguiéndoce simplemente no aparece en el diccionario de la RAE.
Con la finalidad de que recuerdes mejor la forma en que deberías escribir extinguiéndose, queremos aportarte la definición del diccionario:
La inseguridad a la hora de escribir términos que contienen las letras ‘s’ y ‘c’ sucede más frecuentemente en aquellos territorios en que ambas se pronuncian de igual manera. Esto se produce fundamentalmente en los países de América Latina en los que se habla español, mas también de igual modo en algunas regiones del sur de España y las Islas Canarias. No es nuestro deseo trazar teorías acerca del porqué de este modo de pronunciar, dado que no se corresponde con el objetivo de esta página web, meramente deseamos señalar que sea como sea, esta forma de pronunciar está aprobada. Al mismo tiempo {cabe apuntar|es preciso apuntar que la confusión entre ‘s’ y ‘c’ únicamente puede aparecer en algunos casos, debido a que la ‘c’ delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ en ninguna ocasión se debe de pronunciar de modo similar a /s/, sino que se pronuncia como /k/, por lo cual no tendría que existir ninguna confusión en este punto. Con relación a lo demás, nuestra recomendación es escuchar la pronunciación las palabras en español de España estándar, como método para aprender a diferenciar cuándo es preciso escribir la letra ‘s’ y cuándo ‘c’. Y sin duda, seguir esta web y asimilar las normas de ortografía que hemos compilado para ti en la portada de este sitio web. De este modo nunca más sentirás dudas sobre si la palabra que intentas escribir se escribe extinguiéndose o se trata de la palabra extinguiéndoce.