Nunca jamás te sientas dubitativo entre el término prosiguen y el término prociguen cuando te veas en la necesidad de escribir, dado que tan solo hay una forma viable para escribir este término adecuadamente, y es: prosiguen. El término prociguen simplemente no se encuentra en el diccionario de la RAE.
Con el propósito de que te sea más fácil recordar el modo en que debes escribir prosiguen, la definición del diccionario:
Las dudas cuando hay que escribir vocablos que comprenden las letras ‘s’ y ‘c’ pasa más regularmente en aquellos territorios en donde ambas dos se pronuncian igual. Esto sucede principalmente en los países de Latinoamérica en los que hablan en lengua española, pero también en algunas zonas del sur de España y las Islas Canarias. No es nuestra intención exponer teorías con relación al porqué de este modo de pronunciar, porque no se trata del objetivo de esta página, solamente deseamos señalar que en cualquier caso, esta manera de pronunciar está aceptada. Igualmente {hay que precisar|es preciso decir que la confusión entre ‘s’ y ‘c’ únicamente puede existir en algunas circunstancias, porque la ‘c’ cuando antecede a las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ nunca se pronuncia de modo semejante a /s/, sino que se pronuncia como /k/, por lo que no debería de haber ninguna confusión por este motivo. Respecto al resto, recomendamos escuchar el modo de decir las palabras en castellano peninsular estándar, como forma de aprender a distinguir cuándo es preciso escribir ‘s’ y cuándo ‘c’. Y indudablemente, seguir esta página web y aprender las reglas ortográficas que hemos recopilado para ti en el inicio de esta página web. De esta forma no experimentarás dudas sobre si el vocablo que tratas de escribir se escribe prosiguen o se trata de la palabra prociguen.