Nunca debes dudar entre la palabra persistencia y la palabra perxixtencia cuando quieras escribir, debido a que solamente existe una manera viable de escribir esta palabra adecuadamente, y es: persistencia. El término perxixtencia simplemente no se encuentra en el diccionario de la RAE.
Con el fin de que no vuelvas a tener dudas y recuerdes la manera en que deberías escribir persistencia, pensamos que puede ayudarte su definición del diccionario:
Las dudas que se sienten a la hora de escribir términos que contienen las letras ‘s’ y ‘c’ se da más frecuentemente en aquellas áreas en donde las dos se pronuncian igual. Esto ocurre sobre todo en los países de Latinoamérica en los cuales hablan en español, aunque también de igual manera en algunas partes del sur de España y las Islas Canarias. No es nuestra intención teorizar acerca del porqué de este modo de pronunciar, puesto que no se corresponde con el objetivo de esta web, solamente deseamos apuntar a que sea como fuere, esta pronunciación está reconocida. También {hay que apuntar|es preciso señalar que la confusión entre ‘s’ y ‘c’ solamente puede tener lugar en determinadas circunstancias, dado que la letra ‘c’ cuando antecede a las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ nunca jamás se pronuncia de forma similar a /s/, sino que debe pronunciarse como /k/, por lo cual no debería de haber ninguna confusión en estos casos. En referencia al resto, nuestra recomendación es escuchar cómo se pronuncian las palabras en español de la Península Ibérica estándar, como forma de aprender a diferenciar en qué momento se debe escribir la letra ‘s’ y cuándo la letra ‘c’. Y indudablemente, ser seguidor de nuestra web y memorizar las normas ortográficas que hemos reunido para ti en la portada de esta página web. De esta forma ya nunca jamás tendrás dudas sobre si el término que intentas escribir se escribe persistencia o se trata de la palabra perxixtencia.