No deberías dudar entre el término eximirse y el término eximirce cuando debas escribir, dado que solo existe una manera viable para escribir este término correctamente, y es: eximirse. El término eximirce simplemente no aparece en el diccionario de la RAE.
Con el objetivo de que no se te olvide fácilmente la manera en que es preciso escribir eximirse, queremos aportarte la definición del diccionario:
La inseguridad a la hora de escribir vocablos que incluyen las letras ‘s’ y ‘c’ se produce con más regularidad en aquellos sitios en que las dos se pronuncian igual. Esto se da primordialmente en los países de América Latina en los cuales hablan en español, mas también además en algunas partes del sur de España y las Islas Canarias. No vamos a entrar a exponer teorías acerca del porqué de esta manera de pronunciar, porque no se trata del objetivo de esta página, meramente pretendemos apuntar a que en cualquier caso, esta forma de pronunciar está aceptada. También {hay que destacar|es preciso apuntar que la confusión entre ‘s’ y ‘c’ solamente puede aparecer en ciertos casos, dado que la ‘c’ delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ en ningún caso tiene su pronunciación de manera semejante a /s/, sino que se pronuncia como /k/, por lo cual no tendría que existir ningún tipo de confusión en estos casos. En cuanto a los demás casos, aconsejamos escuchar el modo de decir las palabras en castellano de la Península Ibérica estándar, como forma de aprender a distinguir cuándo se tiene que escribir la letra ‘s’ y cuándo ‘c’. Y por supuesto, ser seguidor de nuestra web y estudiar las reglas ortográficas que hemos compilado para ti en la portada de esta web. De esta manera nunca más experimentarás dudas sobre si el vocablo que quieres escribir se escribe eximirse o es la palabra eximirce.