Nunca jamás deberías dudar entre el término continuarse y la palabra continuarce cuando quieras escribir, pues tan solo existe una forma viable para escribir esta palabra de forma correcta, y es: continuarse. El término continuarce simplemente no aparece en el diccionario de la RAE.
Con la finalidad de que te sea más fácil recordar el modo en que se debe escribir continuarse, su definición del diccionario:
Las dudas cuando debemos escribir palabras que incluyen las letras ‘s’ y ‘c’ se da más asiduamente en aquellas áreas en donde ambas se pronuncian de igual manera. Esto sucede fundamentalmente en los países de Latinoamérica en los cuales hablan en lengua española, aunque también en algunas regiones del sur de España y las Islas Canarias. No deseamos aportar teorías sobre el porqué de esta forma de pronunciar, dado que no es el propósito de esta página web, tan solo queremos señalar que sea como sea, esta manera de pronunciar está aceptada. Al mismo tiempo {hay que decir|es preciso señalar que la confusión entre las letras ‘s’ y ‘c’ únicamente puede existir en ciertas circunstancias, ya que la ‘c’ cuando va delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ en ningún caso se debe de pronunciar de manera semejante a /s/, sino que suena como /k/, por lo cual no debería de existir ningún tipo de confusión en este punto. Por lo demás, recomendamos escuchar cómo se pronuncian las palabras en español de España estándar, como método para aprender a encontrar las diferencias sobre en qué momento hay que escribir la letra ‘s’ y cuándo ‘c’. Y indudablemente, ser seguidor de esta web y memorizar las reglas ortográficas que hemos reunido para ti en la portada de este sitio. De este modo nunca tendrás dudas sobre si el término que intentas escribir se escribe continuarse o se trata de la palabra continuarce.